Función Factorial

¿Qué es la función factorial?

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1.

Por ejemplo:

A este número, 6! le llamamos generalmente “6 factorial”, aunque también es correcto decir “factorial de 6”.

En tu calculadora podrás ver una tecla con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá para calcular directamente el factorial del número que quieras.

Algunos ejemplos de factoriales

Vamos a ver algunos ejemplos más de factoriales:

Como ves, 100! es enorme…

Y, ¿qué hacemos con los números más pequeños? 1 factorial es, lógicamente, 1, ya que multiplicamos 1 x 1:

Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya que 0 x 1 es 0.

Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea igual a 1. Así que recuerda:

¿Para qué podemos utilizar los factoriales?

Los números factoriales se utilizan sobre todo en combinatoria, para calcular combinaciones y permutaciones. A través de la combinatoria, los factoriales también se suelen utilizar para calcular probabilidades.

Axiomas de Probabilidades

Axiomas de Probabilidades

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
El axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y conclusiones posteriores se deducen de este.
Etimología
La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.
Lógica
La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre esta otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos, han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.
Limitaciones
Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos y consistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, P es verdadero.
Matemáticas:
En lógica matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.
Axiomas lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el lenguaje
Axiomas no-lógicos
Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.
Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.
En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas no-lógicos simplemente como axiomas, esto no significa que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.
Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.

Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticas los eventos se clasifican de la siguiente forma:


MUTUAMENTE EXCLUYENTE: Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo ejemplo: “CARA o ESCUDO”

INDEPENDIENTES: estos no se ven afectados por otros. Ejemplos:
“color de zapatos, blusas o la probabilidad de que llueva hoy”

DEPENDIENTE: cuando un evento afecta la probabilidad de ocurrencia de otros. “Repaso-calificaciones”

NO EXCLUYENTE ENTRE SI: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro ej. Que una personas sea doctor y que tenga 50 años”, “un estudiante que este casado”

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicion que se presente uno u otro evento la probabilidad total se forma por la suma directa de las probabilidades.

P ( A o B) = P(A) + P (B)

En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos esta incluida en ellos esa probabilidad de sumas directas.
REGLA GENERAL DE LA SUMA DE PROBABILIDADES:

P (A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicion que se presente uno y otro la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades individuales se los eventos son independientes.

P (A Y B) = P (A) * P (B): (Si son independientes)

Si los eventos son dependientes debe considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurrió un primer evento, esto se conoce como REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES.
P(A y B) = P(A) * P (B / B )

EJEMPLOS DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Una caja contiene 8 tarjetas de color verde; 5 de color rojo y 1 de color celeste. Hallar la probabilidad de que al extraer aleatoriamente una tarjeta sea de color rojo

P(tr) = . 5 . = 5 = 0.36
8 + 5 + 1 14

EJEMPLO DE EVENTOS INDEPENDIENTES:
Una caja contiene 8 tarjetas de color verde; 5 de color rojo y 1 de color celeste. Determine la probabilidad de que al extraer al azar uno de estas tarjetas sea color roja y celeste.

P(r ó c) = 5 + 1 = 0.36 + 0.07
14 14

Eventos

EVENTOS

Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticas los eventos se clasifican de la siguiente forma:

MUTUAMENTE EXCLUYENTE: Aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo ejemplo: “CARA o ESCUDO”

INDEPENDIENTES: estos no se ven afectados por otros. Ejemplos:
“color de zapatos, blusas o la probabilidad de que llueva hoy”

DEPENDIENTE: cuando un evento afecta la probabilidad de ocurrencia de otros. “Repaso-calificaciones”

NO EXCLUYENTE ENTRE SI: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro ej. Que una personas sea doctor y que tenga 50 años”, “un estudiante que este casado”

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicion que se presente uno u otro evento la probabilidad total se forma por la suma directa de las probabilidades.

P ( A o B) = P(A) + P (B)

En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad de que ocurran ambos eventos esta incluida en ellos esa probabilidad de sumas directas.
REGLA GENERAL DE LA SUMA DE PROBABILIDADES:

P (A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condicion que se presente uno y otro la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades individuales se los eventos son independientes.

P (A Y B) = P (A) * P (B): (Si son independientes)

Si los eventos son dependientes debe considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurrió un primer evento, esto se conoce como REGLA GENERAL DE LA MULTIPLICACION DE PROBABILIDADES.
P(A y B) = P(A) * P (B / B )

EJEMPLOS DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Una caja contiene 8 tarjetas de color verde; 5 de color rojo y 1 de color celeste. Hallar la probabilidad de que al extraer aleatoriamente una tarjeta sea de color rojo

P(tr) = . 5 . = 5 = 0.36
8 + 5 + 1 14

EJEMPLO DE EVENTOS INDEPENDIENTES:
Una caja contiene 8 tarjetas de color verde; 5 de color rojo y 1 de color celeste. Determine la probabilidad de que al extraer al azar uno de estas tarjetas sea color roja y celeste.

P(r ó c) = 5 + 1 = 0.36 + 0.07
14 14

Combinaciones y Permutaciones

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

Combinación

Son eventos similares a las permutaciones. Pero el orden ya no importa y es necesario eliminar de las permutaciones aquellas donde los elementos se repiten aunque con distinto orden

Una combinación es una selección de objetos sin importar el orden en que se escojan:

                                                

Permutación

Son eventos de tipo multiplicativo, donde el número de posibilidades va disminuyendo y si importa el orden una permutación es un arreglo de un conjunto de objetos en un orden definido. El número de permutaciones diferentes de estos objetos es ; esto se vé fácilmente si pensamos que para la primera alternativa disponemos de los elementos del conjunto, cada uno de los cuales puede complementarse con los restantes como segunda opción, y así hasta llegar a la última elección, conformando el producto .

El número de permutaciones posibles al tomar objetos del conjunto de elementos será, siguiendo el mismo razonamiento.

                                                       

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ

Ejemplo : ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabraIMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320

PERMUTACIONES CIRCULARES

Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado de la otra en fila, el número de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesa circular, ¿de cuántas formas lo podemos hacer?

Observemos los siguientes arreglos:

Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puede leerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglos diferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4! que es el número de arreglos en fila, tenemos solamente .

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Ejemplo 7: ¿ De cuántas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un salón de clases con 25 pupitres?

Solución: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendrá 24 lugares a escoger, el tercero 23, así sucesivamente; por lo tanto el número de arreglos sin repetición de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por = 

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Veamos otra aplicación del principio de la multiplicación. Supongamos que tenemos 20 niños de un grupo de Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. ¿De cuántas formas diferentes podemos servir un helado a 20 niños?

Al primer niño le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo niño también le podemos servir los 10 sabores, al tercero también, y así sucesivamente. A cada uno de los 20 niños le podemos servir de los 10 sabores, por lo que

= n^r

Observe que r es el número de veces que se repiten los n elementos.

RESUMEN DE LAS PERMUTACIONES

DESCRIPCIÓN	FÓRMULA
Permutaciones sin repetición de n elementos tomados todos a la vez
Permutaciones circulares de n elementos	!
Permutaciones sin repetición de n elementos tomados de r en r, donde r £ n
Permutaciones con repetición de n elementos tomados de r en r
Permutaciones de n elementos de los cuales p1son de un tipo, p2 son de otro tipo, ¼ , pk de otro tipo, donde p1 + p2 + ¼ +pk = n.

Calculo de Probabilidades

Cálculo de Probabilidades

Probabilidad:
relacion entre el numero de resultados de exito respecto al total de resultados posibles la probabilidad puede ser subjetiva u objetiva la primera refleja la percepcion de quien la emite y la segunda es el resultado de calculos la probabilidad objetiva bajo el enfoque clasico supone que todos los elementos tienen la misma probabilidad de ocurrir.

ejemplo: si en una caja existen 50 manzanas y 200 naranjas cual es la probabilidad de que al hacer una extraccion sea una naranja.

un evento es el resultado posible de un grupo de resultados posibles de un experimento y es la minima unidad de analisis para efectos de calculos probabilisticos

La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

InterpretacionesLa palabra probabilidad no tiene una definición consistente. De hecho hay dos amplias categorías de interpretaciones de la probabilidad: los frecuentistas hablan de probabilidades sólo cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. La frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento, es una medida de la probabilidad de ese suceso aleatorio. Los bayesianos, no obstante, asignan las probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no implica un proceso aleatorio, como una manera de representar su verosimilitud subjetiva.

ü  Experimento que es no aleatorio.

Quiere decir que no interviene el azar entonces no lo estudia la probabilidad porque ya sabemos lo que va a pasar.

ü  Suceso elemental.

Es la posibilidad que existe de soluciones de un fenómeno. Por ejemplo en un dado hay 6 posibilidades (sucesos elementales)

ü  Sucesos compuestos.

En un subconjunto de los sucesos elementales por ejemplo un dado tiene 6 sucesos elementales y que posibilidad hay de que caiga un numero par.

 

La probabilidad hace la relación con el numero de resultados de éxito al total de resultados posibles que puede ser subjetiva u objetiva. La primera refleja la percepción de quien la emite y la segunda es el resultado de cálculos.

LA PROBABILIDAD OBJETIVA. Bajo el enfoque clásico supone que todos los eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por ejemplo si en una caja existe 50 manzanas y 200 naranjas cual es la probabilidad de que al hacer una extracción  sea una naranja.

Ejemplo

P(N)=          200   .

                200+50

P(N)=  0.8= 80% es la posibilidad de agarrar una naranja.

PROBABILIDAD SUVJETIVA. Existen naranjas y manzanas.

Si se extrae 80 naranjas de 100 extracciones cual es la probabilidad de que sean naranjas.

P(N)= 80

          100

P(N)= 0.8=  80%

Sucesos

Sucesos

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por .

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Teoría de Conteo

TÉCNICA DE CONTEO 

En esta unidad se desarrollan métodos para determinar sin tener que numerar directamente el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de los elementos de un conjunto en particular, también se le conoce como análisis combinatorio.

Nos sirve para determinar sin enumerar directamente el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto particular.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras, y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede ocurrir de n2 maneras diferentes, entonces el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?  Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. 

n1 x n2 x n3

10 x 9 x 8 = 720